9

9. Системы математического счисления.

“Системы математического счисления – это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

Рассматривая древние археологические находки (камни, кости животных), можно заметить, что люди стремились группировать точки, полосы и насечки по 3, 4, 5 или по 7. Такая группировка облегчала счет. В древности чаще всего считали на пальцах, и поэтому предметы стали группировать по 5 или по 10. В дальнейшем десяток десятков получил особенное название (в русском языке – сотня), десяток сотен – свое название (тысяча) и т.д. Для удобства записи такие узловые числа стали обозначать особыми знаками. Если при пересчете оказывалось 2 сотни 7 десятков и 4 предмета, то дважды повторяли знак для сотни, семь раз – знак для десятка и четыре раза – знак для единицы. Знаки для единиц, десятков и сотен были не похожи друг на друга. При такой записи числа знаки можно было располагать в любом порядке, и значение записанного числа при этом не менялось поскольку в такой записи положение знака не играет роли. Подобные системы счисления стали называть непозиционными. Непозиционными были системы счисления у древних египтян, греков и римлян. Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения операций сложения и вычитания, но совсем не удобные для умножения и деления. Чтобы облегчить работу, применялись счетные доски – абаки. Современные счеты являются видоизмененным абаком.

У древних вавилонян система счисления в начале была непозиционная, но в последствии они научились использовать информацию, заключенную в порядке записи знаков, и перешли к позиционной системе счисления. При этом в отличии от используемой нами системе счисления, в которой значение цифры меняется в 10 раз при перемещении на одно место (такую систему называют десятичной), у вавилонян при перемещении знака происходило изменение значения числа в 60 раз (такую систему счисления называют шестидесятеричной). Долгое время в вавилонской системе счета не было нуля, т.е. знака для пропущенного разряда. Это не создавало неудобств, так как порядок числа был обычно известен. Но когда стали составлять обширные математические и астрономические таблицы, возникла необходимость в таком знаке. Он встречается и в поздних клинописных записях, и в таблицах, составленных в Александрии в начале нашей эры. Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд).

Хотя вавилонские ученые пользовались шестидесятеричной системой счисления, на практике все чаше использовали сложный гибрид этой системы с десятичной. А индийские математики, много заимствовавшие у вавилонских ученых, применяли чисто десятичную систему счета. Сочетав с ней вавилонский метод обозначения чисел, индийцы создали в IV в. способ записи, использующих лишь 9 цифр. Вместо нуля оставляли пустое место, а позднее стали ставить точку или маленький кружок. В IX в. появился особый знак для нуля. Долгое время понятие нуля казалось непонятным и абстрактным (зачем нужен знак для того, чего нет ?), но в конце концов преимущество нового способа записи чисел стали ясны всем. Были выработаны правила выполнения арифметических операций над числами в десятичной системе счисления, не требовавшие использование абака, и этот способ записи чисел распространился по всему миру. Но как указывал Н.Н.Лузин : "преимущества десятичной системы не математическое, а зоологическое. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой счисления".” ["Системы счисления", ЭСЮМ, 1985, с.274-275.]

За основание системы счисления можно принять не только числа 10 или 60, но и любое натуральное число p, большее 1.

Для записи чисел в p-ичной системе счисления нужно p цифр (для двоичной – две цифры [0 и 1], для десятичной – десять цифр [0, 1, 2, … , 9], для шестнадцатеричной – шестнадцать [0, 1, 2, … , 9, A, B, C, D, E, F]. Число, записанное цифрами a_k, a_k-1, ..., a₀ в p-ичной системе, равно a_kp^k+a_k-1p^k-1+…+a₀. Например, разложим на слагаемые число C3F6₁₆, записанное в шестнадцатеричной системе счисления (о чем говорит значок 16, указанный как основание системы счисления) :

С3F6 = C(12)∙16³+3∙16²+F(15)∙16¹+6∙16⁰.

В десятичной системе это число будет равно – 50166. Как видим для представления в привычном (десятичном) виде любого числа с любым основанием счисления (в нашем примере – 16), необходимо разбить все число на разряды :

C3F6₁₆ — C(12); 3; F(15); 6.

Затем присвоить каждому разряду свой номер, начиная с нуля и с крайнего правого разряда : цифре 6 соответствует номер 0, цифре F – 1, цифре 3 – 2 и цифре C – 3:

Номер разряда : 3, 2, 1, 0.
Цифры : C, 3, F, 6.

Эти номера разрядов мы будем использовать в качестве степеней основания (в нашем случае – 16), при переводе нашего числа C3F6₁₆ в число с основанием 10 (десятичное число). Таким образом мы получили число в десятичном счислении, которое соответствует числу C3F6₁₆ записанном в шестнадцатеричном счислении :

С3F6₁₆ = C(12)∙16³+3∙16²+F(15)∙16¹+6∙16⁰ = 49152+768+240+6 = 50166₁₀.

Точно таким же образом можно разложить на слагаемые и любое десятичное число, например :

9581 = 9∙10³+5∙10²+8∙10¹+1∙10⁰; ( 9000+500+80+1 = 9581 ).

В двоичной системе счисления, основание равно “2”. И все числа записываются комбинациями цифр “0” и “1”, расставляя их на соответствующие позиции-регистры. Например, число 1101₂:

№ регистра (степень основания)	3		2		1		0
двоичное число : 1101₂ =	1		1		0		1	=
=	1∙2³	+	1∙2²	+	0∙2¹	+	1∙2⁰	=
=	8	+	4	+	0	+	1	= 13₁₀ – десятичное число.

Таким образом, можно перевести любые числа двоичной системы счисления в десятичную :

1₂= 1∙2⁰ = 1₁₀

10₂ = 1∙2¹+0∙2⁰ = 2+0 = 2₁₀

11₂ = 1∙2¹+1∙2⁰ = 2+1 = 3₁₀

100₂ = 1∙2²+0∙2¹+0∙2⁰ = 4+0+0 =4₁₀

101₂= 1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰ = 4+0+1 = 5₁₀

110₂ = 1∙2²+1∙2¹+0∙2⁰ = 4+2+0 = 6₁₀

111₂ = 1∙2²+1∙2¹+1∙2⁰ = 4+2+1 = 7₁₀

1000₂ = 1∙2³+0∙2²+0∙2¹+0∙2⁰ = 8+0+0+0 = 8₁₀

1001₂ = 1∙2³+0∙2²+0∙2¹+1∙2⁰ = 8+0+0+1 = 9₁₀

1010₂ = 1∙2³+0∙2²+1∙2¹+0∙2⁰ = 8+0+2+0 = 10₁₀

1011₂ = 1∙2³+0∙2²+1∙2¹+1∙2⁰ = 8+0+2+1 = 11₁₀

1100₂ = 1∙2³+1∙2²+0∙2¹+0∙2⁰ = 8+4+0+0 = 12₁₀

1101₂ = 1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰ = 8+4+0+1 = 13₁₀

1110₂ = 1∙2³+1∙2²+1∙2¹+0∙2⁰ = 8+4+2+0 = 14₁₀

1111₂ = 1∙2³+1∙2²+1∙2¹+1∙2⁰ = 8+4+2+1 = 15₁₀

10000₂ = 1∙2⁴+0∙2³+0∙2²+0∙2¹+0∙2⁰ = 16+0+0+0+0 = 16₁₀

и т.д.

Резюме.

Двоичная Система счисления – самый простой и одновременно самый универсальный способ отображения и передачи информации.

Дабы слышал народ и поверил тебе навсегда.

На содержание.

Номер разряда :	3, 2, 1, 0.
Цифры :	C, 3, F, 6.